这是一个已蛰伏五年的数学史诗。
2012年，日本京都大学的望月新一（Shinichi Mochizuki）在四篇总长度超过了500页的论文中，提出了著名的ABC猜想的证明方法。但几乎没人能看懂他的论文，因为他采用了自己发展起来的数学工具。除他本人之外，数学界并无他人通晓，致使他人无法对望月新一的证明做出判断。但可以肯定的是，如果望月新一的证明成立，将是21世纪最惊人的数学成就之一。
○ 望月新一于1969年生于东京，他用7年的时间在普林斯顿大学数学系完成了从本科到博士的学习。1992年，获得博士学位的望月回到日本，开始了他在京都大学的数学生涯。主要专注于数论领域的相关研究。多年来一直拥有良好的学术声誉。| 图片来源：exblog.jp
什么是ABC猜想？
ABC猜想是数论领域中最重要的难题之一，最初由法国数学家 Joseph Oesterlé 和英国数学家 David Masser 在20世纪80年代提出的纯数学问题。它的名字源于一个简单的方程 A+B = C，但却包含了对数的自然属性最深刻的探寻，直击数的基本性质。数学家们长期以来认为这个猜想是正确的，但却从来没有人能够证明这一点。那么望月试图证明的ABC猜想究竟在讲什么呢？
简单说来，首先整数A、B、C互质（coprime），即它们的最大公因数是1，并满足A+B=C这一等式。举个例子，(A, B, C)=(1024, 81, 1105), 其中1024 = 2^10, 81 = 3^4，1024与81的最大公因数是1，因此它们互质。
1024的质因子rad(1024)=rad(2^10)=2，81的质因子rad(81)=3；接着1024与81之和等于1105，我们可以将1105分解成5 x 13 x 17，也就是rad(1105) = rad(5 x 13 x 17) = 1105。如果我们将等式两边的质因子相乘，会得到 2 x 3 x 5 x 13 x 17 = 13260，也就是说所有质因子的乘积大于C，即1105。
所以，我们可以得出规律，rad(ABC)>C吗？错！这完全不是规律，只是一般情况，它的反例可以有无穷多个。例如，3 + 125 = 128，ABC可分别被分解为3^1, 5^3, 和2^7，因此质因子的乘积 3 x 5 x 2 = 30。显然，这里30小于C，即128。
因此，ABC猜想说的就是：rad(ABC)^k > C，当k = 1 时，像(3, 125, 128)这样的反例可以有无穷多个；但是，如果 k >1，哪怕 k = 1.00000…001，那么像rad(ABC)<C这样的反例数量就从无限变为有限。这就是ABC猜想。
ABC猜想是 Oesterlé 和 Masser 试图理解与椭圆曲线有关的Szpiro 猜想过程中的产物。ABC猜想的椭圆曲线表述将其置于算数几何的框架，这是数论领域里技术最深刻的部分。虽然这种椭圆曲线表述难以被大众理解，却能给出更多几何洞见，望月的理论就是从这样一个几何洞见开始的。
○ 望月新一未被发表的论文。| 图片来源：Jacob Aron/NewScientist
为了解决这个问题，望月发展了一种全新的数学形式，叫作全面一般化泰希米勒理论（Inter-Universal Teichmüller Theory, IUT），这是一种将代数元素与几何学结合起来的理论，望月独自研究了近10年，并用它来解开ABC猜想。他的证明过程长达500页，几乎所有读过的人内心都是懵圈的。
为了解开这其中的难题，数学家特地为此举办了一个研讨会，并编写了一份概述性的总结论文，总共400页。经过研讨会后，已经有人开始转为支持IUT，但仍有很多人对这一证明持怀疑态度。
哥伦比亚大学的数学家 Peter Woit 在一篇他的博客文章中写道：“目前仍只有少数接近望月的人，声称能理解这一证明，但他们在向他人解释自己的理解方面也没有什么成就。”
○ 望月新一通过视频回答众人的疑惑。| 图片来源：Philipp Ammon
2015年，在另一场于牛津举办的IUT研讨会上（望月并未出席），斯坦福大学的数学家 Brian Conrad 私下发表了这样的观点，他认为，导致望月的证明处于如此难以理解的境地还有一个重要原因，就是这篇论文的写作存在许多问题，与望月其他论文的写作风格和水平很不一致，造成众多在数学上的理解困难。实际上，望月也一直在对这篇论文进行修改和扩展。
除此以外，Conrad等许多其他数学家都认为，“不爱旅行”是阻止望月与其他国家数学家进行交流的一道巨大屏障。这一理论本身从数学角度来说难度就极大，而望月本人又拒绝去别国演讲和授课，因而给想要对此研究的同僚造成了很大的困难。
证明与否？
现在，望月对这一猜想的证明可能很快就能被发表在一个数学期刊上，这应该是故事的结尾了吧？但事实却并非如此。因为该期刊是由京都大学出版，并且它的主编恰恰就是望月新一，所以这是一次极具争议的发表。据日本《朝日新闻》报道，现在，这一证明可最早在明年1月份发表。
事实上，因没有任何杂志接受发表这一证明，为这一证明的有效性蒙上了悬而未决的疑云。新西兰坎特伯雷大学的数学家 José Felipe Voloch 说：“一直有传言说这些证明已提交给一家日本期刊，因而担心这些论文无法得到充分的审查。”
虽然这本杂志是一本颇有声望的著名杂志，但它的确是来自望月自己的研究机构，而望月正是该期刊的主编，因此目前面对的这些质疑是无法避免的。Voloch 说：“对我来说，这本杂志是否已被接受对我并没有太大的影响。我仍在等待得到一个我能理解的关于这些证明的解释。”
望月尽可能回避所有有关于工作的媒体采访，但慢慢也有数学家开始支持他的新理论。英国诺丁汉大学的数学家 Ivan Fesenko 帮助组织过IUT的研究会议。他认为望月的证明是开创性的，并且很可能在未来几十年内彻底改变数论。而对于有争议期刊的选择这一问题，他认为这可理解为这一领域的顶尖数学家多来自日本。他说：“这种规模的成就在我们数学中是非常少见的。从本质上来讲，这是数论在过去50年中取得的最好结果。”
因此保守说来，现在这一证明仍然处于不确定的状态。少数几个说他们理解这一证明的数学家将继续支持，而其他人则继续持怀疑态度。
Woit 写道：“在有数学家能理解这些证明，并同时能够向其他人清楚地解释他的理解之前，亦或者有更易于理解的书面证明的版本出现之前，我不认为这个证明能广泛的被数学界接受。”
对于数学同僚们质疑的态度，望月也曾表达对一些数学家并未认真仔细研究其工作的不满和批评，他甚至还说过，许多其他数学家根本不具有资格对这个证明发表看法，除非他们愿意从IUT理论的最基础开始学起。
数学家们向望月喊话，认为望月必须参与更多解释证明的工作，例如将证明简化，或者去国外演讲。牛津大学的数学家 Minhyong Kim 说：“我很同情他所承受的挫败感，但是我也同情其他人，他们不明白为什么他不能以更为常规的方式做事。”Kim 补充说，让望月一对一的向他人传授这些理论是不可维持的，而学术期刊一般都会要求没有在望月指导下能独立评论的人来验证这些证明。
这几年来，望月的沉默让人想起另一位拒绝与数学界合作的数学家 Grigori Perelman，并拒绝领取因解决庞加莱猜想的100万美金的奖金。Kim 说：“这种固执、自尊和自豪感给了他们攻克这样的难题所必需的个性。但是现在，也使望月的证明仍处于没被解决的状态。”
数学家们普遍认为，望月拒绝在大范围内去传播、交流和探讨这一理论，以及对国际数学圈保持沉默的态度，是这一证明难以被理解的非数学因素。他只在日本小范围内，组织周围的学生学者对这一问题进行持续性的探讨和学习。
在一篇报告中，望月详细记录了其他数学家对IUT理论学习研究的相关进展。而报告中，望月表达了他认为为何大多数学家不能理解其证明的观点，部分观点让许多人感到不悦。例如其中一条他写道：“从要有效解决这个问题的角度来看，最根本的绊脚石不在于获取新知识的需求，而在于研究者要更换他们的思维模式的需求。”
报告中，望月提到了四位他认为通过系统学习IUT后，真正做到了理解他的理论的人，分别是京都大学数学系的Yuichiro Hoshi和Go Yamashita，英国艾克斯特大学的Mohamed SaÏdi 和美国普渡大学的Chung Pang Mok。
在参与望月讲述IUT理论的系列讲座过程中，Yamashita 说道：“如果你只试图从某些角度去部分了解IUT，那么就算花上10年也不会懂这个理论。但如果你从一开始就系统的研究这个理论，那么或许你能在半年的时间内搞懂它。”不过望月认为这个时间可能还要更长，他认为即便已经拥有较高的数学水准，也很可能需要花上10年的时间才能称得上严谨地理解了IUT。
目前，我们很难判断望月的证明正确与否，但或许IUT理论在未来有重大用武之处。如果望月的理论被确认为ABC猜想的证明，那么将有许多其他的数学问题可用这些理论来解决，例如为曾被望月的博士导师 Gerd Faltings 证明的Mordell猜想提供更好的证明方法。
曾写过关于ABC猜想相关书籍的东京大学数学教授Nobushige Kurokawa 说：“望月所使用的方法是具有开创性的，必将成为未来数学的有力工具。”
撰文：佐佑
参考链接：
[1] https://www.newscientist.com/article/2156623-mathematician-set-to-publish-abc-proof-almost-no-one-understands/
[2] https://www.newscientist.com/article/dn28682-mathematicians-left-baffled-after-three-year-struggle-over-proof/
[3] http://www.asahi.com/ajw/articles/AJ201712160034.html
[4] https://www.newscientist.com/article/2146647-baffling-abc-maths-proof-now-has-impenetrable-300-page-summary/
[5] http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTeich%20Verification%20Report%202014-12.pdf