中小学生,怎样才算数学学得好呢?中科院研究生院数学系原主任、首都师范大学特聘教授李克正举了很多例子,把数学学习的特点讲的很透彻。
首先问大家一个问题:数学是自然界的客观规律,还是人大脑中的纯粹主观的东西?不要求大家马上回答,因为这个问题即使在科学家群体中也一直有着激烈的争论,是个根本性的哲学问题。
然而一种非常普遍的观点认为数学是“理论科学”,只是动动脑子的事,“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”,甚至是乏味的、无用的、无聊的。
更有些极端的看法,否认数学是科学,否认数学所研究的是自然规律,认为自然数纯粹是人大脑里的东西,或者是“存在于天上的纯粹理性”,或者纯粹是文字和符号的游戏等等。
首先要理解自然数的“自然”意义,没有“数觉”却只管练习记数、计算等,是学不懂数学的。
小学生做很多数学应用题,中学生却很少做甚至不做,其实中学生更应该做,这是回归自然的一个重要途径。
什么样的习题是“自然”的呢?这不太容易说清楚,但“自然”的反义词是“人工”,那些在自然界中不存在的现象,人为编造的条件,牵强附会的假设,与数学无关的语言障碍或陷阱等都属于这一类。
例如,小学教科书上有个题目:在一个仓库里有很多葡萄,经过一段时间由于水分蒸发重量变轻了。重量少了多少呢?答案是50% 。这样不“自然”的习题很常见。
华罗庚先生当年做数学普及报告,经常举日常生活中应用数学的生动例子,比如:蜂巢为什么最省材料?什么样的茶叶桶盖掉不下去?街口的红绿灯应该怎样设计?苏联导弹试验场的奇怪形状说明了什么?
这些报告都给了听众们非常深刻的印象,一个重要的原因就是其中有很多自然的例子。
中学生在数学应用方面应该比小学生有更高的要求,不仅要会做应用题,还要能将实际工作中的问题转化为数学问题并予以解决,就是说要培养数学建模的能力。
陈省身先生说过:“数学是一切科学的基础,数学的训练普遍的有用”。但对数学有严重偏见的人(包括缺乏数觉的人)来说,是不可能理解这两句话的。
数学揭示自然界的规律,而人本来就属于自然界,了解自然界的欲望是人类的本能,因此对数学的兴趣是可以自然地形成的。
但是,如果学的或做的是不自然的数学,则无助于培养数学兴趣,甚至会伤害数学兴趣。
学习数学的最强动力是兴趣,比其他动力如功利、荣誉甚至强迫等都要大。
遗憾的是,我遇到过一些同学本来很喜欢数学,后来却由于不当的数学教育变得不喜欢甚至恨数学。
陈省身先生给小学生的一个题字是“数学好玩”。不知有多少同学觉得数学好玩。
作为科学,数学产生于实验,在这一点上与物理、化学等都是一致的。
最早的数学研究对象——自然数的客观存在,是一个物理事实,人类只是“发现”而不是“发明”了自然数。
小孩子扳着手指数数,就是一个数学实验(当然是很简陋的)。小时候玩的一些玩具中也有简单的数学实验。
作为计算工具已经淘汰的算盘,也是一种数学实验设备,它的数学教育功能尚未完全过时。在初中数学教育中,原来也有必备的通用实验工具——圆规和直尺。
一个班的学生中一般总有几个学得不好的,很多人将此简单地归因于这些学生“笨”或者“懒”,还有归因于“智商”的(而且有些人将智商说成是先天因素)。
另一方面,经常也总有几个学生学得很好,这也使一些人认为他们“聪明”“勤奋”或“智商高”,由此往往会得出一个错误的判断,就是在数学教学中不需要实验,没有实验他们不是也学得很好吗?
其实不然。少数学生不需要某个实验,可能是因为他们以前做过有同样效果的实验,但其他学生仍是需要的。
数学竞赛是一种非常好的教育方法,它能激励学生的数学兴趣,发现人才,提高学生的素质,开阔学生的眼界。
此外,它能建立数学界与青少年沟通的桥梁,吸引数学家对青少年人才培养的投入,吸引学术界和社会对于数学发展的关注等。
数学竞赛是一种学术性很强的竞赛,需要依靠数学家来组办,尤其是命题。
我参加过多种中、小学数学竞赛的命题,深知这是难度很高而且非常辛苦的工作。
既要基于学生的课程内容,又不能落入俗套;既要有难度,又要简单;既考验智慧,又启发新的智慧;既不能超出学生知识基础的范围,又要有深刻的观点。
在现代社会中,一个人一生中接受数学教育的时间是相当长的。
虽然一个人需要学的数学知识很多而且越来越难,但即使是一个小学生也可能有很好的数学素质,而中学生中有很多可以达到相当高的数学素质。
一个人的数学素质高低的标志不是数学知识的多少,而是数学理念的理解。
小学阶段培养数学素质的一个要点是可靠性。在做数学题的过程中,要求越来越严格,这是培养科学严谨性的第一步。
如果一个小学生在解题过程中的错误都能够自己发现和改正,就是解题非常可靠,在这一点上数学素质完全达标了。
中学阶段对于数学素质有更多的要求,包括代数运算能力、空间想象力、逻辑性等,对独立探索解决问题的能力提出了更高的要求。
数学素质的提升主要是通过理念的提升来实现的。理念的提升,远比技巧的提高重要。在理念的提升过程中,概念越来越抽象。抽象概念常常是具体概念的推广或提升。
在教学中一个常见的误区是,先讲抽象概念,再应用到具体情况,这样符合逻辑次序,但对于学习可能并不合适。
因为人的认识过程是从特殊到一般、从低到高、从具体到抽象,也就是说抽象的概念需要通过大量具体的例子才能理解。
最后再指出一点:数学的教育特别需要“因材施教”,对于同一个问题,不同的人很可能需要大不相同的学习过程。
例如很多数学习题是没有“标准答案”的,特别是证明题,在好的情况下甚至可能没有两个学生的答案完全相同,需要教师分别读懂和判断。
就这一方面看,数学教育是很不容易也很辛苦的。